100所名校单元测试示范卷2023数学答案

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20.解：(1)(x)=1+g=+a,函数的定义域为(0，x+∞)，①当a≥0时，f(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增，没有减区间；(2分)②当a<0时，令f(x)>0,得x>-a,A此时函数f(x)的增区间为（一a,十∞），减区间为(0,一a)；隆(4分)(2)fx)<2r+e,可化为x+alnx≤日r+e,若a<0,取x=ea,x十alnx=e&十alne&=e+e>e>1x2+e,a不合题意，故a必为正数，(5分)不等式x+alnx≤是x2+e,化为x2-x-alnx+e≥0，(6分)令g(x)=1x2-x-alnx+e,ag'(x)=有ax1-=2x2-ax-a2立ax(2x+a)(x-a)(7分)ax由函数g(x)的定义域为(0，十∞)，令g'(x)>0有x>a,可得函数g(x)的减区间为(0，a),增区间为(a,十∞)，若g(x)≥0恒成立，必有g(x)min=g(a)=a一a一alna+e≥0，得alna≤e,(9分)①当0 1时，令h(x)=xlnx(x≥1)，有h'(x)=lnx+1>0,可得函数h(x)单调递增，08+t01+)0又由h(e)=e,可得l

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20.【命题意图】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养(1)【解】设M,N的坐标分别为(xM,yw),(xw,yw),则yw+yn-3.(2分)2所以IMNI=yw+yw+p=6+p=8,解得p=2.(4分)》(2)【证明】由(1)得抛物线的方程为x2=4y.(5分》因为点B(2,ye)在抛物线上，所以易得点B(2,1).设点P(x1,y),Q(x2,y2),显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ:y=mx+b.将直线PQ的方程代入抛物线的方程，得x2-4x4b=0,所以4=16(m2+b)>0,x1+x2=4m,x1x2=-4b.(7分)因为k即·k0=-3,所以之-】.为」=-3.x1-2x2-2又行44折所实23.(9分)即x1x2+2(x1+x2）+52=0,所以-4b+8m+52=0,即b=2m+13.(10分)所以直线PQ的方程为y=mx+2m+13,即y-13=m(x+2),所以直线PQ过定点(-2,13).(12分)名师评题本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系等多个知识点，第(1)小问求过焦点的弦长时直接利用焦半径公式：第(2)小问是直线过定点问题，关键是找到m,b之间的等量关系，利用抛物线的方程将斜率转化后再进行因式分解，可以简化计算，这是常用的解题技巧