全国100所名校高三数答案

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20.解：(1)设C的焦距为2c,由2c=F:F:|=8,得c=4.(1分)由双曲线的定义，得2a=|PF,-|PF,l=4,即a=2,(2分)所以b=√-a=√16-4=23，故C的方程为矿品-1.(4分)(2)若PQ⊥x轴，则x轴是直线PQ的垂线：若PQ⊥y轴，则y轴是直线PQ的垂线.而x轴与y轴的交点是原点O,故猜测：M点即为原点O.(6分)下面证明：设P(x1y1),Q(xy:).若PQ⊥x轴，由对称性，得x1=|y,.将点P(x1y,)代人双曲线方程中，解得引x1=√6，此时，点M(原点O》到直线PQ的距离为V6,(7分)若直线PQ不与x轴垂直，设直线PQ的方程是y=kx十m,由红十m:。消去y并整理。13x2-y2=12,得(3-k2)x2一2km.x一m2-12=0.则3-k2≠0，且4=（一2km)2+4(3-k)(m2+12)>0,十一二g,=一m2km3-k2(9分)由OP,0反=0，得x1x:十yy=x1x:+(kr1+m)·(kx十m)=0,整理，得(k十1)x1x:十km(x1十x:)十m2=0,即+1D(-g)十m·g+m=0,化简得6+1）=m+12(11分)则点M(原点O)到直线PQ的距离为d=m6(k+1)√+IVk2+16综上，点M到直线PQ的距离为定值.故存在定点M,使得M到直线PQ的距离为定值.M的坐标为(0,0).(12分)

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21.(1)解：(1)当a=1时，f(x)=1nx十(1一x)e-,定义域为(0，十o∞).则r'(x)=}-xe-t=1-re(1分)当x=1时，f'(x)=0:当0 0.即f'(x)>0:当x>1时，x>1,e-1>1,所以1-x'e-1<0,即f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,1)上为增函数，在区间(1，十∞)上为减函数，所以x=1是f(x)的极大值点，也是f(x)的最大值点，且f(x),=f(1)=0,故f(r)≤0.(4分)(2)显然a≠0.当a<0时，f(x)的定义域为（一oo,0),测r(后）-ln(a·）+(1-a)e·=(1-a）e>0,这与fx)≤0恒成立”矛f:(5分)当a>0时，f(x)的定义域为(0，十oo),f(1)=lna,由f(1)≤0，得lna≤0，解得0 0.a e所以p(a)在区间(0,1]上为增函数，从而p(a)≤p(1)=0.综上，当0 0,得x>0,设h(a)=ln(ax)+(1一x)e·,h'a)=--xe=e[后-1-re小a设p(a)=g(0 0时，g(x) e“(e-1)>0,从而h(a)在区间(0,1上为增函数，再结合(1)，得h(a)≤h(1)=lnx+(1-x)e-1≤0，所以，当0