2023卷临天下 全国100所名校单元测试示范卷·数学[23新教材·DY·数学-RA-必修第一册-N](十二)12答案

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13.5【解析】设点P(x,y),则(x一3)2十(y一4)2≤1，圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=3×3+4×4+51=6,则点P到直线3x+4y+5=0/32+42的距离最小值为6一1=5.

21.解：(1)若PA⊥PB,则四边形PAOB为正方形，则P到圆心的距离为√12+1？=√2.P在直线x十y十2=0上，设P(x,一2一x),则1OP|=√x2+(-x-2)z=√2，解得x=-1,故P(一1，-1).(4分)(2)由PA2=POP一1可知当线段PO长最小时，线段PA长最小.线段PO长最小值即点O到直线的距离，故PO1m=0+0+2=V2,/1+1.|PA min=√/2-1=1.(6分)(3)设P(x0,一x0-2),则以0P为直径的圆的方程为(x-受)+(y-z6+(-x-2)2,4化简得x2一x0x+（x0+2)y+y2=0,与x2+y2=1联立，可得AB所在直线方程为xox一(xo十2)y=1,(8分)x0x-(x0+2)y=1,联立x2+y2=1,得(2x6+4x0+4)x2-2x0x-x6-4x0-3=0,Q的坐标为(2十十42千异4To-x0-2可得Q点轨迹为(+)广+(+号)°=日，圆心(子一)半径R=其中原点(0,0)为极限点（也可以去掉）.(10分)故存在点T(-,一})，使得线段TQ长为定值.(12分)